Relasi Rekursi

1.       Relasi Rekursif Homogen Linear Berderajat Dua dengan Koefisien Konstanta

Nyatakan apakah masing-masing relasi rekursif berikut merupakan relasi rekursif homogen linear berderajat dua dengan koefisien konstanta atau bukan:

      1.       ak = (–4)ak – 1 + (k + 1)ak – 2

      2.       bk = bk – 1 + bk – 2

      3.       ck = (ck – 1)2 + ck – 1 ∙ ck – 2

      4.       dk = dk – 1 + dk – 2 + dk – 3

      5.       ek = 2ek – 2

      6.       fk = 2fk – 1 + 3fk – 2 – 5

Pembahasan : Kita dapat mengidentifikasi relasi-relasi rekursif tersebut dengan menggunakan definisi di atas.

      1.       Bukan; koefisiennya bukan konstanta.

      2.       Iya; A = 1 = B.

      3.       Bukan; tidak linear.

      4.       Bukan; tidak berderajat dua.

      5.       Iya; A = 0 dan B = 2.

      6.       Bukan; tidak homogen.

2.       Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

Ck = ck-1 + k ck-2 + 1

Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.

Ditanya : Hitunglah c5!

Penyelesaian :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1               = 5

c3= c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1                = 12

c4= c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1             = 33

c5= c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1           = 94

Jadi, c5 = 94

3.       Diketahui : Misalkan a1, a2, … ; b1, b2, … dan c1, c2, … adalah 3 barisan yang semua sukunya memenuhi relasi rekurensi. Nilai suatu suku sama dengan 3 kali nilai suku sebelumnya.

Jadi, ak = 3ak-1; bk=3bk-1; ck=3 ck-1.

Tetapi kondisi awal ketiga barisan tersebut berbeda :

a1= 0 ; b1 = 1 ; c1= 2

Ditanya : Nyatakan barisan-barisan terebut dengan cara menuliskan beberapa suku awal barisannya !

Apakah ketiga nya merupakan barisan yang sama ?

Penyelesaian :

Pada barisan a1, a2….

a2 = 3a1 =3.0 = 0

a3 = 3a2 = 3.0 = 0

a4 = 3a3 = 3.0 = 0

pada barisan b1, b2….

b2 = 3b1 = 3.1 = 3

b3 = 3b2 =3.3 = 9

b4 = 3b3 = 3.9 = 27

pada barisan c1, c2….

c2 = 3c1 = 3.2 = 6

c3 = 3c2 = 3.6 =18

c4 = 3c3 = 3.18 = 54

dengan demikian , barisan a1 adalah :0,0,0 …

barisan b1 adalah: 3,9,27…

barisan c1 adalah: 6,18,54…

tampak bahwa ketiga barisan tersebut berbeda. Baik relasi rekurensi maupun kondisi awal barisan yang sangat mempengaruhi nilai-nilai suku barisan yang berbentuk.

4.       Diketahui : Misalkan a0 , a1 , a2 , … , adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 1

ak = ak-1 + 2 ( relasi rekurensi )

a0 = 1 ( kondisi awal )

Ditanya : Carilah rumus eksplisit barisan tersebut dengan metode iterasi.

Penyelesaian :

Metode iterasi akan diselesaikan secara menurun dan secara menaik.

ak = ak-1 + 2

= ( ak-2 + 2 ) + 2 = ak-2 + 2.2

= ( ak-3 + 2 ) + 2.2 = ak-3 + 3.2

= ( ak-4 + 2 ) + 3.2 = ak-4 + 4.2

= ( ak-5 + 2 ) + 4.2 = ak-5 + 5.2

Berdasarkan pola yang ada, terlihat bahwa :

ak = ak-k + k.2 = a0 + 2.k

oleh karena a0 = 1 maka penyelesaian persamaan rekursif adalah ak = 1 + 2k

jika diselesaikan dengan cara menaik :

a1 = a0 + 2

a2 = a1 + 2 = ( a0 + 2 ) + 2 = a0 + 2 + 2 = a0 + 2.2

a3 = a2 + 2 = ( a0 + 2 + 2 ) + 2 = a0 + 2 + 2 + 2 = a0 + 3.2

a4 = a3 + 2 = ( a0 + 2 + 2 + 2 ) + 2 = a0 + 2 + 2 + 2 + 2 = a0 + 4.2

………

ak = a0 + k.2 = 1 + 2 k

5.       Diketahui : mk = 2mk-1 + 1 untuk bilangan bulat k ≥ 2

m1 = 1

Ditanya : Carilah rumus eksplisit barisan m1 , m2 ,…yang menyatakan masalah menara Hanoi.

penyelesaian :

mk = 2mk-1 + 1

= 2 ( 2mk-2 + 1 ) + 1 = 22 mk-2 + 2.1 + 1

= 22 ( 2mk-3 + 1 ) + 2.1 + 1 = 23 mk-3 + 22.1 + 2.1 + 1

= 23 ( 2mk-4 + 1 ) + 22.1 + 2.1 + 1 = 24 mk-4 + 23.1 + 22.1 + 2.1 + 1

= 24 ( 2mk-5 + 1 ) + 23.1 + 22.1 + 2.1 + 1 = 25 mk-5 + 24.1 + 23.1 + 22.1 + 2.1 + 1

= ……….

= 2k-1mk-(k-1) + 2k-2.1 + … + 23.1 + 22.1 + 21 + 1

= 2k-1m1 + 2k-2 + … + 23 + 22 + 21 + 1

Oleh karena m1 = 1, maka :

mk = 2k-1 + 2k-2 + 2k-3 + … + 23 + 22 + 21 + 1

mk merupakan deret geometri dengan r = 2 yang besarnya = (2^((k-1)+1)-1)/(2-1) = 2k – 1

jadi, mk = 2k – 1 untuk bilangan bulat k ≥ 1

6.       Diketahui : Misalkan Kn adalah graf sederhana ( tanpa loop maupun garis paralel ) dengan n buah titik dan setiap pasang titik dihubungkan dengan sebuah garis ( sering disebut Graf Lengkap = Complete Graph ).

Ditanya : Jika Sn menyatakan jumlah garis dalam kn, maka :

Buktikan bahwa Sn memenuhi relasi rekurensi Sn = Sn-1 + (n-1) dam kondisi awal s1 = 0.

Selesaikan relasi rekurensi Sn tersebut.

Penyelesaian :

Kn untuk n = 1,2,3,4 dan 5 tampak pada gambar ini .

K1 K2 K3 K4 K5

Gambar 2

Perhatikan cara penambahan garis ketika menggambar K4 dari K3. Banyaknya garis dalam K4 adalah banyaknya garis K3 ditambah dengan banyaknya garis baru yang harus dibuat akibatpenambahan satu buah titik ( ditunjukkan dengan garis terputus-putus ).

Banyaknya garis baru yang ditambahkan pada K4 sama dengan banyaknya titik pada K3 . jadi, S4 = S3 + 3.

Coba untuk mendapatkan k5 dari K4.

Titik baru yang

Ditambahkan.

K3 K4

Gambar 3

Secara umum : Sn = Sn-1 + (n-1)

Kondisi awal S1 = 0 jelas benar karena tidak mungkin membuat suatu garis dari satu buah titik. ( lihat gambar 2 )

Sn = Sn-1 + (n-1)

= ( Sn-2 + (n-2) ) + (n-1)

= Sn-2 + (n-2) + (n-1)

= ( Sn-3 + (n-3) ) + (n-2) + (n-1)

= Sn-3 + (n-3) + (n-2) + (n-1)

= ( Sn-4 + (n-4) ) + (n-3) + (n-2) + (n-1)

= Sn-4 + (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1)

…

= Sn-(n-1) + (n – (n-1)) + … + (n-3) + (n-2) + (n-1)

= S1 + 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1)

Oleh karena S1 = 0, maka

Sn = 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) = (n ( n+1 ))/n- n = (n ( n-1))/2

Rumus eksplisit yang didapat dari proses iterasi tersebut sebetulnya hanyalah perkiraan kita saja yang dibuat berdasarkan pola-pola yang ada dalam beberapa suku. Rumus yang kita buat mungkin salah. Untuk memastikan bahwa rumus tersebut benar, kita bisa menggunakan induksi matematika untuk membuktikannya.

7.       Sebutkan dan jelaskan aplikasi dari Pigeon Hole?

Prinsip pigeon hole bisa diterapkan dalam permainan kartu dengan 2 trik yaitu trik permainan kartu kombinatorial. Contoh cara kerjanya adalah Pesulap akan menanyakan kepada salah satu pengunjung untuk memilih secara acak lima kartu dari satu dek kartu permainan. Pengunjung tidak menunjukkan kelima kartu ini pada pesulap , tapi menunjukkannya pada khalayak ramai lainnya. Pengunjung-pengunjung yang lain akan memilih empat kartu dan menunjukkannya pada sang pesulap. Maka pesulap itu akan dengan cepat bisa menentukan kartu kelima kartu pertama yang ditunjukkan ke pesulap adalah satu dai dua kartu yang sama ini. Kartu-kartu yang lain dengan lambang yang sama yaitu kartu misteri tersebut yang harus ditebak oleh sang pesulap. Lalu pengunjung-pengunjung lainnya menunjukkan bahwa kartu yang disembunyikan tersebut mempunyai lambang yang sama dengan kartu pertama yang ditunjukkan. Sedangkan nilai dari kartu misteri tersebut akan bisa didapatkan dengan sedikit trik yaitu dengan ‘perhitungan lingkaran’ kecil.

 8.    Adakah hubungan metode antara kombinasi dan permutasi dalam pigeon hole? Jika ada apa tolong    jelaskan hubungannya!

                        Hubungan metode antara kombinasi dan permutasi dalam pigeon hole ada, yaitu karena metode ini dapat menunjukkan banyaknya suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang berbeda dalam suatu tempat, baik yang dipilih seluruhnya atau sebagian. Selain itu dapat menunjukkan susunan objek yang identik. Dengan demikian, metode ini dapat mencari objek dalam suatu tempat dan dapat menentukan banyaknya objek tersebut. Metode perhitungan ini berguna dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan Prinsip Pigeonhole.

Cc :   http://mutiaratyax27.wordpress.com/

        http://intan-ftriani.blogspot.com/

        http://yos3prens.wordpress.com/

Satrio Nugroho kelompok 10

cinta dan kasih

Halo ketemu lagi dengan saya satrio nugroho haha, pada kesempatan kali ini saya akan membahas cinta dan kasih, ya itu salah satu “clue” dalam tugas softskill kali ini, cinta dan kasih  itu apa sih?? hmmm.. sering kali ya kita mendengar kata-kata itu sudah tidak asing tentunya ditelinga kita masing-masing nah dalam cinta dan kasih itu mungkin banyak ya jenisnya menurut saya ada cinta kasih terhadap, tuhan, orang tua, teman, sahabat, pacar atau diri sendiri. Nah disini saya akan bercerita sedikit tentang cinta dan kasih terhadap orang tua menurut versi saya, pertama apa aja sih yang bisa buat orang tua kita senang, bangga dan bahagia dimana posisi mereka sebagai orang tua kita? Kalau menurut saya itu cukup sederhana tapi agak sulit untuk menjalani haha gimana niat juga sih, nih ya ikutin perintah dan kemaunya, kenapa begitu sebagai anak kita wajib mengikuti perintah, aturan juga kemauan orang tua kita sendiri itu sudah menjadi kwajiban kita yang sangat penting karena mereka sudah pernah mengalami apa yang kita rasakan dimasa sekarang ini sebagai remaja, mereka adalah guru juga pembimbing dalam kehidupan ini guru pertama yang kita temui hingga tingkah dan perilaku mereka akan sangat tercermin terhadap kita, menjaga nama baik orang tua juga termasuk kwajiban kita sebagai anak terhadap orang tua, banyak sekali cara yang bisa kita lakukan untuk menunjukan sayang dan kasih terhadap orang tua misalnya menjadi anak yang baik, berguna, pintar dan cerdas juga soleh/solehah, sebagai contoh dikehidupan saya sendiri dimana saya hidup dilingkungan cukup religius banyak sekali orang tua yang bercita-cita akan anaknya yang sukses dimasa depan dengan title atau perdikat serta jabatan yang tinggi seperti jadi direktur, pilot, perwira dll sebagainya tapi beda dengan kedua orang tua saya yang keinginanya sangat amat sederhana .. ya sangat sederhana kenapa begitu ibu dan bapa saya hanya menginginkan saya menjadi anak yang soleh, rajin ibadah, tidak pernah meninggalkan solat, pintar dan fasih dalam membaca al-quran. Ya hanya itu keinginan utama kedua orang tua saya, setelah saya pikir dan saya telaah matang-matang ternyata perkataan orang tua tidak pernah ada yang salah kawan pernah terpikir ngga sih kalau orang tua kita tidak akan hidup selamanya suatu saat pasti akan ada waktu dimana orang tua kita dipanggil sama yang kuasa itu akan sangat berguna buat kehidupan mereka dan kita kelak selanjutnya mendoakan mereka, mengirimkan mereka doa dll. Sedangkan menurut saya jabatan serta predikat apakah akan bisa menolong mereka kelak?? Tidak! Anak soleh lah yang bisa menolong mereka nanti kita adalah permata yang bening di awal yang akan menjadi penerang mereka kelak serta pertanggung jawaban didepan tinggal pilih saja jalan yang baik dengan menurut serta tidak membantah perintah orang tua atau sebaliknya, ingaaaat anak adalah cerminan kedua orang tua kelak dimasa depan juga di masyarakat… sekianJ

Kelebihan dan Kekurangan pada Fasilitas Umum moda Transportasi

Kelebihan dan kekurangan fasilitas umum

Arti definisi/pengertian fasilitas umum adalah fasilitas yang diadakan untuk kepentingan umum. Contoh dari fasilitas umum (fasum) adalah seperti jalan, angkutan umum, saluran air, jembatan, fly over, under pass, halte, alat penerangan umum, jaringan listrik, banjir kanal, trotoar, jalur busway, tempat pembuangan sampah, dan lain sebagainya.

Nah disini saya akan membahas Kelebihan dan kekuranagan fasilitas umum dikota saya sendiri yaitu transpakuan dikota Bogor, disini saya membahas dibagian transportasi umum pertama saya akan membahas kelebihan fasilitas umum pada moda transportasi:

1.       Biaya yang dikeluarkan lebih murah.

2.       Tersedia setiap waktu.

3.       Mengurangi kemacetan karena menekan pada berkurangnya penggunaan kendaraan pribadi.

4.       Ramah lingkungan karena menggunakan energy bio.

Kekurangan pada moda transportasi ini adalah:

1.       Belum tersedia pada setiap daerah hanya di spot tertentu saja.

2.       Tidak bias naik disembarang  tempat.

3.       Belum mempunyai jalur sendiri seperti busway dijakarta.

Pengertian dikutip dari : http://www.organisasi.org/1970/01/arti-pengertian-fasilitas-umum-dan-fasilitas-sosial-perbedaan-fasum-fasos.html

Generator Pedal

Hei sobat apa kabar? Mudah-mudahan Baik  tentunya, oia disini saya mau bercerita tentang beberapa waktu yang lalu kami bertiga mengunjungi Taman Mini indonesia bersama dua kawan saya yaitu Jo Spencer dan Putra Kurniaman Bamen, ya.. maksud kedatangan kami kesana untuk menyelesaikan tugas mata kuliah yaitu softskil  dengan clue “perkembangan teknologi” tugas ini berbentuk kelompok dimana masing-masing individu harus mempunyai postingan tugas yang berbeda, nah pada waktu ke Taman Mini kemarin saya bertiga berkunjung ke museum IPTEK ya lumayan pas lah karena isinya tentang teknologi dimasa sekarang ini, beberapa tempat sudah saya sambangi dan akhirnya ada satu wahana yang pas menurut saya untuk dimasukan kedalam tugas ini yaitu Generator Pedal seperti ini penampakanya :

berikut ini cara kerja dari generator pedal tersebut, Ini contoh sederhana perkembangan teknologi  untuk aplikasi energy gerak pada sebuah dinamo. Ketika pedalnya dikayuh maka lampu-lampu di dalam box akan menyala. Semakin kuat kayuhannya maka akan semakin terang nyala lampunya. Mengapa terjadi demikian? Ketika pedal dikayuh, dia akan menggerakan kumparan di dalam dinamo sehingga menghasilkan medan magnet. Medan magnet inilah yang akan berubah menjadi medan listrik sehingga lampu-lampu di dalam box dapat menyala.

ini pedal untuk mengkayuh generator tersebut agar lampu pada box hitam menyala semakin kuat kayuhan pada kayuh pedal tersebut maka nyala yang dihasilkan akan semakin terang 

nah berikut tadi hasil perburuan kami dimuseum IPTEK dan berikut foto kami bertiga di sana bersama kelompok

sebelah kiri saya sendiri, kedua dari kiri adalah JoSpencer dan paling kanan itu Putra Kurniaman Bamen yaa tadi merupakan beberapa cerita singkat dimana didalamnya ada penjelasan mengenai tugas yang dimaksud terimakasih :)

sumber: http://himura-strivetodream.blogspot.com/2012/10/wahana-edukatif-taman-pintar-yogyakarta.html